Teorema é uma proposição (ou afirmação) que deve ser demonstrada. Em seguida, vamos desenvolver quatro teoremas fundamentais da ciência matemática: o Teorema de Tales, o de Pitágoras, o do Cateto e o da Altura, todos com muitas aplicações. Esses quatro teoremas já eram conhecidos na Antiguidade porque surgiram da necessidade de medir terras. Sobre esta questão, o sábio grego Eudemos de Rodhes (segunda metade do século IV a.C.) escreveu em sua obra História da Geometria, da Aritmética e da Astronomia: 'A geometria foi descoberta pelos egípcios para medir suas terras, medições que eram necessárias pois as inundações do rio Nilo apagavam os limites entre terras vizinhas'. Recordemos que a palavra geometria, em grego, significa medição de terras. Durante a Idade de Ouro das ciências gregas surgiram os grandes matemáticos gregos: Tales, Pitágoras, Euclides, Arquimedes e Apolônio. Eles são alguns dos autores dos principais teoremas.
 

Miniatura de Tales de Mileto (final do século VII, meados do século VI a.C.). Ele foi matemático, filósofo, astrônomo e físico, e é considerado o mais antigo e ilustre dos Sete Sábios da Grécia

1. Teorema de Tales 

Proporcionalidade de segmentos 

Tome duas retas r e r'; na reta r assinale os segmentos a, b e c (Figura 1, abaixo). 

Figura 1

Considere uma reta s  que corte ambas as retas (Figura 2, abaixo). 

Em seguida, trace várias retas paralelas à reta pelas extremidades dos segmentos a, b e c. 

Podemos observar que na reta r' ficarão assinalados os segmentos a', b' e c' (Figura 3, abaixo). 

Figura 2

Figura 3

A cada segmento da reta r compreendido entre cada uma das paralelas traçadas corresponde um segmento sobre a reta r'. Nesse caso, foi feita uma projeção paralela. 

A projeção paralela como proporcionalidade direta 

Observe que quando multiplicamos um segmento da reta r  por um número, sua projeção paralela fica multiplicada pelo mesmo número (Figura 4, abaixo) 

Figura 4

Tome duas retas r e r'. Considere os segmentos a e b da seguinte maneira: b = 2a. Em suas projeções sobre a reta r', verifica-se que: b' = 2a', isto é, b / a = 2 e b'/ a' = 2. Isto significa que a projeção paralela é uma proporcionalidade direta. 

Formulação do Teorema de Tales 

Figura 5

Os segmentos determinados por retas paralelas em duas retas transversais são proporcionais (Figura 5, ao lado). 

Onde K  é a razão de proporcionalidade. 

Figura 6

Aplicações do Teorema de Tales 

Queremos dividir um segmento AB  em cinco partes iguais; observe o procedimento na Figura 6, acima. 

Dados três segmentos a, b e c, denominamos segmento quarta proporcional de a, b e c ao segmento x que verifica: 

Observe a solução gráfica na Figura 7, abaixo: 

Figura 7

Figura 8

Dados dois segmentos a e b, chamamos segmento terceira proporcional de a e b ao segmento x que verifica a seguinte proposição: 

Observe, na Figura 8, ao lado, a resolução gráfica. A terceira proporcional define a célebre secção áurea  empregada pelos matemáticos gregos. 

2. O Teorema de Pitágoras
Para o desenvolvimento da relação pitagórica por excelência, construa um triângulo de 3, 4 e 5 cm de lado. Com papel milimetrado, recorte três quadrados de 3, 4 e 5 cm de lado, respectivamente. Coloque-os sobre os lados do triângulo, como indica a Figura 9, abaixo: 

Figura 9	Figura 10

Observando as Figuras 9 e 10, ao lado, podemos deduzir geometricamente que o quadrado construído sobre a hipotenusa  tem tantos quadradinhos quantos os quadrados construídos sobre os catetos. 

A relação aritmética é: 

Figura 11

Esta relação entre os catetos e a hipotenusa é conhecida como Teorema de Pitágoras: 

Para lembrar:

Os números que verificam essa relação são chamados de números pitagóricos. 

São conhecidas cerca de 300 demonstrações do Teorema de Pitágoras. 

Figura 12

Figura 13

Figura 14

As Figura 12, 13 e 14, ao lado e abaixo respectivamente, mostram graficamente algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras. 

Aplicações do Teorema de Pitágoras 

Qual o valor da altura de um triângulo eqüilátero com 6 cm de lado? (Figura 15, abaixo): 

Figura 15

Num triângulo retângulo, os catetos medem 10 cm e 15 cm. Quanto mede a hipotenusa? (Figura 16, abaixo): 

Figura 16

3. Teorema da Altura
Antes de iniciar o desenvolvimento desse teorema, devemos lembrar que em todo triângulo retângulo os triângulos obtidos ao se traçar a altura correspondente à hipotenusa são semelhantes (Figura 17, abaixo): 

Figura 17

Como  e  são semelhantes, verifica-se: 

; operando, obtemos: 

Para lembrar:

Calcular a altura correspondente à hipotenusa do triângulo retângulo mostrado na Figura 18, abaixo: 

Figura 18

Figura 19

Como  e  são semelhantes, verifica-se: 

; operando, obtemos: 

Para lembrar:

Figura 20

A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 4 cm e a projeção de um cateto sobre ela mede 1 cm. Quanto mede o cateto?, (Figura 20, ao lado): 

Do Teorema do Cateto ao Teorema de Pitágoras 

Veja agora uma demonstração do Teorema de Pitágoras por meio do Teorema do Cateto. 

No triângulo ABC da Figura 21, abaixo, temos c² = a X m e, analogamente, b² = a X n. 

Somando membro a membro as duas igualdades: 

Isolamos o fator comum: c2+ b2= a X (m + n) e como m + n = a
Ficamos com: 

E, operando, obtemos: 

Figura 21

O que demonstra o Teorema de Pitágoras. 

5. O sonho e a realidade
Finalmente, podemos responder à questão da abertura deste capítulo: 

Qual é o caminho matemático do sonho à realidade? 

Em torno desse tema, veja algumas das idéias mais brilhantes que foram criadas em Geometria. O rigor das suas demonstrações e cálculos não podem nos fazer esquecer de dois elementos fundamentais da criação do conhecimento humano: 

Para lembrar:

O primado da fantasia e da intuição sobre a lógica, foi bastante explicado por Albert Einstein (1879 a 1955) e provado não só pela sua produção científica, mas pelas grandes criações científicas de vários outros pensadores importantes para a evolução do conhecimento humano. 

Einstein descreve a primeira elaboração intuitiva do conceito como um sonho: 

Vamos sintetizar a visão de Einstein sobre a unidade existente entre intuição e lógica. A finalidade da ciência é ordenar as nossas experiências para formar uma imagem consistente da realidade. 

Mas como das experiências surgem as idéias teóricas que permitem ordená-las logicamente? Comentando o surgimento do atomismo, Albert Einstein observou: 

Pai da teoria atomista, o filósofo grego Leucipo (460 a 370 a.C.) embaraçou-se procurando uma explicação para a mesma dúvida. Acabou concluíndo que em tal transformação a essência da água não mudara em absoluto. 'É possível, então, que a água seja constituída por partículas imutáveis (átomos) e que a mudança tenha ocorrido apenas no arranjo espacial dessas partículas', teria refletido o sábio. 

Pensando na proposição de Leucipo, Einstein conclui que o exemplo ilustra dois fatos importantes: 

Este ato é a intuição, ou seja, entre as possíveis hipóteses plausíveis imaginadas, a intuição escolhe uma delas. A origem disso talvez esteja no trabalho do inconsciente humano. Einstein, numa carta ao seu amigo Maurice Solovine (1952) reafirma este ponto de vista, ilustrando-o com o seguinte esquema: 

Neste esquema: 

EXERCÍCIOS 1. Calcular os segmentos e e f da Figura 22 considerando o valor de a, b, c e d.     Figura 22 2. Calcular a medida dos catetos de um triângulo retângulo se sua hipotenusa mede 12 cm e a projeção de um cateto sobre ela tem 3 cm. 3. Achar a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo sabendo que as projeções de seus catetos sobre a hipotenusa medem 16 cm e 5 cm, respectivamente. 4. Calcular o valor de um cateto de um triângulo retângulo sabendo que a hipotenusa mede 12 cm e o outro cateto 4 cm. 5. O lado de um quadrado mede 12 cm. Quanto mede sua diagonal? 6. Em que altura de uma parede toca uma escada de 10 m se sua base está situada a 6 m da parede?