Como ir além da simples enumeração?

Figura 1

O homem começou a contar e criou um sistema quando precisou controlar a quantidade de coisas que produzia. Usando pedrinhas, nós em corda e, mais tarde, os números naturais, ele contava as coisas uma a uma. O progresso exigiu um novo tipo de contagem, que superou a simples enumeração de objetos. É a contagem de grupos de objetos. Com a análise combinatória, os problemas de contagem se configuram como um ramo independente na Matemática.
 

1. Arranjos simples
Consideremos o conjunto A  formado pelas cinco vogais. Os arranjos de três elementos tomados de A podem ser representados da seguinte maneira: 

Observe que, para ocupar o lugar da primeira vogal, temos 5 possibilidades; por isso escrevemos 5 linhas na horizontal. A segunda vogal pode ser escolhida entre as 4 restantes; portanto, separamos quatro grupos em colunas verticais. Por fim, para a terceira vogal, podemos escolher qualquer uma das três restantes. Indicando o número dos arranjos das 5 vogais tomadas 3 a 3 por A _5,3 no total, teremos: 

Este conjunto de arranjos poderia ser representado também por meio de um diagrama de árvore (Figura 1, acima, à direita). 

Seis atletas concorrem aos prêmios de 1º, 2º e 3º lugares. De quantas formas pode-se compor o pódio? 

Entendemos por arranjo os modos que podemos posicionar os objetos em grupo. Uma alteração na ordem determinará um novo agrupamento. A fórmula que indica o número possível de arranjos é: 

Por volta de 1800, o alemão Chretien Kramp criou uma notação que simplificou essa fórmula. Para Kramp, dado um número natural m (m E 2), o produto dos m, primeiros números naturais não-nulos, seria indicado por m!. Assim:  

Então: 

Definiu-se ainda que 1! = 1 e 0! = 1. Introduzindo o símbolo fatorial na fórmula dos arranjos, teremos: 

2. Arranjos com repetição
Uma possibilidade na contagem por arranjos é admitir a repetição dos elementos.
Se A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, o conjunto de arranjos com repetição dos elementos de A tomados de 3 em 3 é igual ao conjunto de todos os números de três algarismos que se pode formar com os algarismos de A. 

Geralmente o número de arranjos com repetição de m elementos de um conjunto tomados n a n é dado pela fórmula: 

3. Permutações simples
As permutações simples tratam de um caso particular de arranjos: aquelas seqüências de elementos distintos formados por todos os elementos do conjunto dado. 

Seis alunos da primeira fila decidem sentar-se em cada dia de uma maneira distinta. Quantos dias serão precisos para repetirem uma determinada disposição? Para a primeira disposição teremos 6 possibilidades; para a segunda, 5; para a terceira, 4; para a quarta, 3; para a quinta, 2; e para a sexta, 1. Indicando a permutação dos 6 alunos por P ₆, no total teremos: 

Usando a notação fatorial, concluímos que a permutação dos 6 alunos é igual a 6! Um curioso problema é o anagrama ­ permutações feitas com as letras de uma palavra. Os anagramas de BOI são: BOI, BIO, OBI, OIB, IBO, IOB. Assim, com as letras da palavra BOI é possível escrever 6 anagramas, isto é: 

Em geral, o número de permutações de n elementos de um conjunto A equivale ao arranjo de n elementos desse conjunto tomados n a n, o que nos é dado pela fórmula:  

4. Permutações com repetição 

Suponhamos agora que, dos n  elementos a ordenar, há p  repetidos ou iguais entre si. Haveria então algumas ordenações repetidas. Temos uma urna com 10 bolas das quais 5 são brancas, 2 são pretas e 3 são vermelhas. De quantas maneiras podemos retirá-las da urna? 

Obtemos a solução calculando as permutações com repetição de 10 elementos, um repetido 5 vezes, outro 2 e outro 3. A fórmula será: 

Em geral, as permutações com repetição de m elementos entre os quais estejam repetidos um a vezes, outro b vezes, outro c vezes, ..., e outro k vezes, de maneira que a + b + c + ... + k = m, serão calculadas com a seguinte fórmula: 

5. Combinações
A combinação trata de problemas nos quais o que se quer é escolher elementos de um conjunto, não importando sua ordem ou posição. A Matemática criou um instrumento para estes tipos de contagens: os conjuntos. 

Suponhamos que quatro pessoas se reúnam {a, b, c, d} e resolvam formar uma comissão de 3 membros sem distinção de cargos. O problema é o de determinar quantos subconjuntos de 3 elementos é possível formar. Vamos escrevê-los: {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}. 

No total temos 4 combinações. Observe que as combinações se diferenciam pelas qualidades dos elementos e não por sua ordem. 

O número de combinações de um conjunto de m  elementos tomados n  a n, em que n  m, é o número de subconjuntos de n elementos possíveis de formar neste conjunto. Pode ser indicado de três formas: 

•	Por Cm,n (lê-se combinação de m  elementos tomados n  a n).
•	Por.
•	Por, chamado de número binomial e que se lê número binomial de numerador m  e denominador n  ou simplesmente número binomial m  sobre n.

Para encontrarmos o número de combinações de 4 elementos {a,b,c,d,}, tomados 3 a 3, fazemos o seguinte: 

Para cada combinação de 3 elementos deste conjunto podemos formar 3! arranjos: 

{a,b,c}: (a,b,c), (a,c,b), (b,a,c), (b,c,a), (c,a,b), (c,b,a) 

Como C _4,3  é o número de combinações com 3 elementos temos que C _4,3 X 3! = A _4,3, então concluímos: 

Assim, usando o símbolo fatorial teremos: 

Figura 2

Calcular o número de diagonais  de um heptágono (Figura 2). Observamos que cada dois vértices determinam um segmento diagonal ou lado. Calculamos portanto as combinações de 7 elementos tomados 2 a 2 e subtraímos o número de lados. Assim: 

6. Propriedades dos números binomiais
O cálculo das combinações mostrou-se uma importante ferramenta no desenvolvimento de outros campos da Matemática: a Álgebra e a Estatística. Por volta de 1650, o francês Blaise Pascal estudou algumas propriedades dos números binomiais a partir da disposição destes números num triângulo aritmético (Figura 3, abaixo). 

Primeira propriedade: 

Indica o número de subconjuntos  de 0 elementos num conjunto de m  elementos; somente o conjunto vazio  atende a esta condição. Exemplo: C _5,0 = C _5,5 = 1. 

Segunda propriedade: 

Da mesma maneira, indica o número de subconjuntos de m elementos e somente o conjunto total atende a esta condição. 

Num conjunto de 5 elementos, tomamos 2 para obter um subconjunto, formando, indiretamente, um outro subconjunto de 5 -­ 2 = 3 elementos. Observe: 

Terceira propriedade: 

Os números combinatórios podem ser dispostos da forma mostrada na Figura 3, abaixo. 

Figura 3

Segundo as propriedades enunciadas, as duas diagonais exteriores são formadas por números 1, e cada número do interior é igual à soma dos dois que figuram acima dele (terceira propriedade). Essa disposição é conhecida como Triângulo de Tartaglia ou de Pascal (Figura 4, abaixo) em homenagem aos matemáticos que a utilizaram, embora já fosse conhecida anteriormente (triângulo aritmético chinês, do ano de 1303). 

Figura 4

7. Fórmula geral do Binômio de Newton
A grande contribuição do Triângulo de Pascal foi no desenvolvimento das potências de um binômio. Acompanhem o desenvolvimento das primeiras potências do binômio a+b: 

Repare que os coeficientes dos termos do binômio são exatamente os números dispostos em cada linha do triângulo. Isaac Newton (1623 a 1727) generalizou o desenvolvimento do binômio para todas as potências com a seguinte fórmula: