Podemos usar as frações de quatro maneiras distintas: 

A fração como parte de uma unidade  

Figura 1

Nesse caso, o denominador indica as partes em que dividimos a unidade e o numerador, as partes que tomamos (Figura 1). 

A fração como parte de um conjunto  

A ilustração da abertura deste capítulo, indica que fizemos cinco partes iguais (cinco colunas com três elementos cada) com os 15 elementos existentes e tomamos duas dessas partes.  

Como cada parte tem três elementos, 2/5 de 15 = 6  

Uma fração também pode expressar parte de um conjunto. O denominador indica as partes em que dividimos os elementos e o numerador, quantas partes tomamos.  

A fração como expressão de um quociente de números Inteiros  

Uma fração expressa também uma divisão de números Inteiros. O numerador indica o dividendo e o denominador, o divisor.  

a / b; a  dividendo b  divisor

Figura 2a

Figura 2b

Nas Figuras 2a e 2b, temos o movimento de um carro, nos sentidos positivo e negativo, em que 3 km são percorridos em 2 minutos. As frações +3/2 e ­3/2 indicam a velocidade do carro em quilômetros por minuto. 

A fração como operador composto

Uma fração é um operador composto no qual o numerador da fração representa o operador multiplicar por e o denominador, o operador dividir por.

Vamos aplicar a cada elemento do conjunto 

M = {24, 36, 210} os seguintes operadores: 

a) 4/3; b) 5/2 

Representação de frações sobre a reta 
Vamos representar, agora, frações sobre uma reta. Na Figura 3, marcamos na reta a origem e a unidade. 

Figura 3	Figura 4

Representamos, na Figura 4, alguns números Inteiros.

Figura 5

• 

Representamos as frações positivas à direita do zero e as negativas, à sua esquerda. 

Frações equivalentes 
Na Figura 6 representamos os números Inteiros: 

Unimos as extremidades e, traçando retas paralelas, obtemos os terços.

Figura 6

Os meios estão representados na Figura 7, abaixo:

Figura 7

A Figura 8 indica a representação dos quartos:

Figura 8

Representamos os sextos na Figura 9:

Figura 9

Podemos observar que as frações 1/2, 2/4 e 3/6 são representadas no mesmo ponto da reta. Dizemos que essas frações são equivalentes. Isto é representado da seguinte maneira:

Observe que a fração 2/4 é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador da fração 1/2 por 2.

 Para lembrar:

Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número não-nulo, obtemos uma fração equivalente à primeira. Assim:  são frações equivalentes.

Critério de equivalência de frações 

Duas frações  são equivalentes quando o produto cruzado do numerador de uma e o denominador de outra são iguais:

  Simplificação de frações 
Simplificar uma fração é encontrar outra fração equivalente dividindo o numerador e o denominador da fração por um mesmo número não-nulo.

Quando uma fração não pode ser simplificada, isto é, o numerador e o denominador não têm nenhum divisor comum, nós a chamamos de fração irredutível.

  Número Racional 
A equivalência de frações nos permite classificar o conjunto de todas estas em grupos de frações equivalentes entre si: 

É uma classe de equivalência:	É outra classe:

Cada classe de equivalência chama-se número Racional.

 Para lembrar:

Um número Racional tem infinitos representantes, mas normalmente o identificamos pelo representante canônico, que é a fração irredutível de cada classe de equivalência. O conjunto dos números Racionais chama-se conjunto Q:

Q = { números Racionais } Q = { Racionais positivos } Q = { Racionais negativos }

  Redução de frações a um denominador comum 
Para reduzir frações a um denominador comum, devemos encontrar frações equivalentes com o mesmo denominador. Para isto, vamos nos acostumar a trabalhar com o mínimo múltiplo comum dos denominadores. 

  Operações com números Racionais 

Adição de frações

Para somar frações, devemos verificar se têm o mesmo denominador. Caso contrário, reduzimos a um denominador comum e depois somamos os numeradores e colocamos o denominador comum.

Para somar um número Inteiro e uma fração, transformamos o número Inteiro em número Fracionário com o mesmo denominador da fração. Depois, somamos os numeradores e deixamos o mesmo denominador.

Propriedades da adição de números Racionais 

Se a Q e b Q então a + b = c Q

O número Racional 0 é o elemento neutro da adição de números Racionais. 

Subtração de frações

Para subtrair números Racionais, somamos ao minuendo o oposto do subtraendo:

Multiplicação de números Racionais 

Para multiplicar dois números Racionais, devemos escrever como numerador o produto dos numeradores e como denominador, o produto dos denominadores. 

Figura 12

Propriedades da multiplicação dos números Racionais 

O elemento neutro do produto de números Racionais é o 1. 

O que é o mesmo que: 

Divisão de números Racionais 

O quociente de dois números Racionais é obtido multiplicando-se o dividendo pelo elemento inverso do divisor. 

  Potências de números Racionais 
Potências de números Racionais com expoente natural: para elevar uma fração a uma potência, elevamos a esse expoente o numerador e o denominador.

Propriedades da potenciação 

Na divisão de potências da mesma base, sabemos que: 

o que é o mesmo que:

Assim, definimos que:

EXERCÍCIOS  1. Os alunos de uma classe vão sair em excursão. A metade dos participantes irá a pé, 1/3, de bicicleta, e 5, de carro. Quantos alunos vão sair em excursão? Quantos vão a pé? Quantos vão de bicicleta? 2. Uma escada possui 19 degraus. Cada degrau tem 17/2 centímetros de altura mais 1/2 centímetro de revestimento. Que altura tem a escada? 3. Metade de um pomar está plantado com macieiras, um terço é caminho e ainda restam 300 metros quadrados de laranjal. Qual a área do pomar? 4. Efetuar as seguintes operações combinadas: