Como representar um instante de um movimento? 

Vamos admitir que o movimento de um astro fosse congelado num determinado instante de sua curva, ou de sua órbita. Perguntando-se sobre o que acontece neste exato instante, infinitamente pequeno, alguns matemáticos produziram uma idéia: o cálculo infinitesimal, também chamado diferencial. O segredo deste cálculo está na combinação entre a tangente do instante único (a reta que toca o movimento congelado) e a curva que comporia os instantes seguintes. O traçado da tangente num ponto da curva passou a ser um dos problemas fundamentais para os matemáticos que, no século XVII, estudavam os movimentos dos astros em função da navegação em alto-mar. A questão do traçado da tangente recebeu o nome de derivada.
 

1. Derivada de uma função em um ponto: inclinação da reta tangente
O conceito de tangente tem duas interpretações possíveis, que vão se compor para formar um novo conceito: a derivada. Podemos nos referir à reta tangente ou tangente geométrica e à tangente trigonométrica, representada por tg  . 

Sabemos que qualquer reta fica perfeitamente determinada se conhecemos um de seus pontos e a sua inclinação (ou declividade). 

Figura 1

Vejamos como obter a inclinação (ou declividade)
m = tg . 

Podemos observar que na curva está assinalado também um ponto Q, próximo do ponto P. Se a abscissa do ponto Q é x_o + h, podemos concluir que as coordenadas do ponto Q são (x_o + h, f (x_o + h)). 

Surge assim a reta secante , que tem como inclinação a tangente trigonométrica do ângulo : 

Na demonstração acima, temos que a tangente de  = cateto oposto a  sobre cateto adjacente. 

Se deslocarmos, de forma imaginária, o ponto Q sobre a curva, aproximando-o cada vez mais do ponto P, este deslocamento de Q faz com que as retas secantes se aproximem da reta tangente T. 

Com este deslocamento, o ângulo  tende a coincidir com o ângulo  e o mesmo acontece com a tg   em relação à tg  . 

Com o mesmo deslocamento o valor de h tende a zero e, portanto, a partir de agora, vamos escrevê-lo da seguinte forma: 

Agora podemos definir o conceito de derivada e lhe atribuirmos um símbolo. 

Chamaremos de derivada da função f em x₀, a indicaremos f' (x₀). Assim: 

Assim, a derivada de uma função em um ponto x₀ representa a inclinação da reta tangente à curva neste ponto. Então: 

f' (x0) = tg

Vejamos como o conceito de derivada é aplicado na resolução de problemas. 

Dada a função f (x) = x² / 4, pede-se a inclinação da reta tangente à referida função em x = 2. Façamos a representação gráfica da função e da reta tangente (Figura 2, abaixo). Concluímos: 

Figura 2

Conforme a definição de derivada, expressa em termos geométricos, a inclinação da reta tangente à função num ponto é a derivada da função nesse ponto. Portanto: 

f' (x0) = tg

Assim, considerando a definição e a representação gráfica de derivada desenvolvidas anteriormente, podemos calcular diretamente o limite (uma vez que a derivada de uma função f (x) para um valor qualquer de x  é um limite). 

Uma vez aplicada a definição de derivada, chegamos ao resultado de que tg  = 1, portanto: 

= 45°

Interpretação do resultado 

Se o resultado for uma derivada positiva, teremos tg  positiva, o que implica que o ângulo   é agudo.
Se a reta tangente formar um ângulo agudo com o eixo OX, podemos concluir que a função está crescendo. 

Inversamente, se a derivada for negativa teremos: 

tg  < 0

Isto implica que o ângulo  é obtuso. Neste caso podemos concluir que a função é decrescente nesse ponto.

Figura 3

2. Equação da reta tangente a uma curva
No conceito de derivada estamos nos referindo constantemente à reta tangente à função. Veremos agora como podemos representá-la. Em geral, diante de uma situação como a exemplificada na Figura 3, se conhecemos um dos pontos de uma reta, por exemplo o ponto P (p₁, p₂), e a inclinação (ou declividade) desta reta, m, a equação que a descreve é a seguinte: 

Que também pode ser representada assim: 

No caso das retas tangentes a uma curva num ponto P, conhecemos também as coordenadas,
P (x₀, f (x₀)), e sua inclinação, por meio da derivada no referido ponto, m = f' (x₀), como mostra a Figura 4, abaixo. 

Figura 4

Que também pode ser representada assim: 

3. Função derivada
A qualquer função y = f (x), podemos aplicar a definição de derivada e calcular (em geral para esta função y) a expressão que nos permitirá obter o valor da derivada, f' (x), para qualquer valor de x, sem a necessidade de calcularmos o limite para cada valor distinto de x. 

Para a função f (x) = x², podemos calcular, para um ponto qualquer de valor x, a derivada; substituindo a função f (x) por seu valor x². 

O resultado obtido, f' (x) = 2x, pode ser representado também como y' = 2x.
Estas duas representações equivalentes nos permitem obter diretamente, sem necessidade de calcularmos em cada ocasião o valor do limite, o valor das derivadas para qualquer valor de x.
Por isso, podemos dizer que, dado:

Chamamos de função derivada à nova função que faz a correspondência entre cada valor de x e de sua derivada neste ponto e a simbolizamos com: 

4. Crescimento, decrescimento e pontos de tangência horizontal
O cálculo da derivada para os pontos do intervalo de uma função indica se, neste intervalo, ocorre crescimento, decrescimento ou horizontalidade da referida função. 

Crescimento de uma função num intervalo 

Geralmente, para a função y = f (x), se em cada ponto de um determinado intervalo a derivada for positiva, ou seja, f' (x) > 0, as retas tangentes correspondentes aos pontos desse intervalo formarão ângulos agudos com o sentido positivo do eixo x, das abscissas. 

Por isso, podemos dizer que a função f(x) será crescente no intervalo em questão, que expressamos com o seguinte teorema: 

Se f'(x) > 0  no intervalo [a,b] f(x)  é crescente em [a,b]

Decréscimo de uma função num intervalo 

Em um caso contrário, se em um intervalo a derivada for negativa, isto é, f' (x) < 0, as retas tangentes correspondentes aos pontos do intervalo formarão ângulos obtusos com o sentido positivo do eixo x. 
Isso indica que a função, neste intervalo, é decrescente. Daí podemos enunciar o seguinte teorema: 

Se f'(x) < 0  no intervalo [a,b] f(x)  é decrescente em [a,b]

Pontos de tangente horizontal 

Existe uma terceira possibilidade inteiramente distinta das duas anteriores. 

Se num ponto x₀ a derivada for nula, isto é, se f' (x) = 0, a reta tangente à função neste ponto será horizontal.
Esses pontos são chamados de singulares ou estacionários. Às vezes eles podem nos indicar que ocorre uma mudança de comportamento da função, isto é, que ela passa de crescente a decrescente, ou vice-versa. 

Figura 5	Figura 6	Figura 7

Figura 8	Figura 9

Nas Figuras 5, 6, 7, 8 e 9, vemos a representação de diferentes funções em que assinalamos as retas tangentes à função em diversos pontos. Devemos observar os ângulos que cada reta forma com o eixo x, no sentido positivo, e o comportamento crescente ou decrescente da função nesse ponto. 

Nos casos em que a reta tangente é horizontal, falamos de ponto singular. 

5. Funções não-deriváveis
Nem todas as funções são deriváveis. Devemos considerar que derivada é um limite e os limites podem não existir. Para detectar os pontos em que uma função não é derivável, devemos saber que o conceito de derivada está intimamente relacionado à idéia de reta tangente. 

Figura 10

Figura 11

Figura 12

Se f é derivável em a é contínua em a

Como uma função só é derivável num ponto, se for contínua neste ponto, conclui-se que se uma função é derivável num ponto, é também, necessariamente, contínua nele. 

6. Cálculo de derivadas
A derivada de uma função f (x) para um valor qualquer de x é um limite. Mas, como o cálculo de limites é complicado, enumeramos em seguida uma série de regras e teoremas que facilitam o cálculo de derivadas.

Derivada de uma função constante f (x) = k

As derivadas dão uma idéia das variações de uma função. Numa função constante, essas variações não existem. Por isso, pode-se afirmar que a derivada é nula. 

Assim: 

Para toda f (x) = k f' (x) = 0

Derivada de uma soma de funções 

Se temos uma função que é a soma de duas ou mais funções, a derivada dessa função será igual à soma das derivadas de cada uma das funções.
Temos, assim, o teorema: 

Se f (x) = t (x) + s (x), verifica-se que: 

Derivada da função f (x) =
A derivada de f (x) =é: 

f' (x) = 1/2

Derivada das funções elementares 

Em Matemática, costuma-se chamar de funções elementares as funções polinomiais, a função raiz quadrada, as funções trigonométricas e as funções logarítmica e exponencial.
Outras funções geralmente podem ser obtidas de combinações das funções citadas acima através de diversas operações matemáticas. Por isso, é interessante conhecer a derivada dessas funções elementares: 

Derivada de um produto de funções 

Para calcular a derivada de um produto de duas funções, devemos aplicar a seguinte regra: 

Derivada de um quociente de funções 

Para calcular a derivada de um quociente de funções, também contamos com uma regra simples: 

EXERCÍCIOS 1. Calcular a derivada de f (x) = x2 ­ x ­ 2; em x = ­ 1.  2. Calcular a equação da reta tangente a: f (x) = 1/x; em x = 2. 3. Com a ajuda das regras e teoremas conhecidos, calcular a derivada das seguintes funções: a) f (x) = 5; em x = 3. b) f (x) = x4; em x = 3/4. c) f (x) = x4/6; em x = 3/4. d) f (x) = 5x4 + 6x2 + 7; em x = 2. e) f (x) =; em x = 1. f ) f (x) = x2 ­ ex. g) f (x) = 4 sen x ­ 2 cos x. h)