Noção de progressões geométricas
Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, com exceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.  

Ao observarmos atentamente as duas progressões geométricas descritas abaixo, certamente vamos perceber o valor de q e de a₁ em cada uma delas:

Evidentemente, na primeira progressão, a₁ = 3 e, na segunda, a₁ = 2. 

Para lembrar:

Assim, na primeira sucessão, q = 2, e na segunda dividimos, por exemplo, a₄/a₃, isto é, 1/4 ÷ 1/2, obtendo q = 1/2.  

Cálculos do termo geral
Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguinte maneira: 

Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquer progressão geométrica. 

Portanto, e utilizando os exemplos anteriores, se a₁ = 2 e q = 1/2, então: 

Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos: 

Estudo do comportamento das progressões
geométricas e das progressões aritméticas
A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a primeira diferença substancial no momento de sua definição. 

Enquanto as progressões aritméticas formam-se somando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí. 

Vamos começar com as progressões aritméticas, pois seu comportamento é bem mais simples. 

Observe que, quando uma progressão aritmética  tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que o anterior. 

Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. 

Observe, também, a rapidez com que a progressão cresce ou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto  da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto, maior será a velocidade de crescimento e vice-versa. 

Figura 1a	Figura 1b	Figura 1c

Nas Figuras 1a, 1b, 1c, representamos três progressões aritméticas distintas. Observe como o valor de r  influi no comportamento da progressão. 

Veja agora o que ocorre com as progressões geométricas. Existem vários casos distintos, mas é comum encontrarmos uma das duas possibilidades: 

Figura 2

Figura 3

Cabe ainda uma terceira possibilidade, que é menos freqüente: 

Figura 4

Soma dos n primeiros termos consecutivos
Em certas circunstâncias, interessa-nos conhecer o valor da soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão geométrica qualquer. 

Este é o caso do jovem príncipe e da recompensa a seu professor, como foi colocado na introdução do capítulo. 

Para isto, dispomos de duas expressões que nos permitem observar diretamente a soma de n  termos: 

E como a_n = a₁ X q^n–1, podemos expressar a fórmula anterior da seguinte maneira: 

O raciocínio desenvolvido até aqui serve perfeitamente para as progressões que têm a₁> 0 e q > 1, mas o que ocorre nas progressões onde a₁ > 0 e 0 < q < 1?

Considerando o comportamento das progressões explicado no item anterior, nesse tipo de sucessões, à medida que aumenta o valor de n (que nos indica a ordem dentro da progressão), diminui consideravelmente o valor do termo correspondente. Isto implica que esses valores sejam quase
iguais a 0.

Por isso, quando se somam muitos termos, a_n é praticamente 0 e, portanto, o produto a_n X q também. Se ampliamos a soma para incluir um número infinito de termos, a quantidade a_n X q acaba desaparecendo e a fórmula da soma se converte em:  

Produto de n termos consecutivos
Se a₁, a₂, a₃, ..., a_n formam uma progressão geométrica, verifica-se que: 

Em outras palavras, o produto de termose qüidistantes dos extremos dá sempre o mesmo resultado. 

Com a expressão seguinte, podemos calcular o produto de n  termos consecutivos de uma progressão geométrica: 

Interpolação de termos proporcionais
Interpolar termos entre dois números quaisquer, a e b, consiste em criar uma progressão geométrica que comece em a e termine em b. 

Esses novos termos intermediários chamam-se meios geométricos. Se sabemos que deve haver p termos intermediários, podemos achá-los considerando que b ocupará, dentro da nova progressão, o lugar n = p + 2 e a ocupará o lugar n = 1. 

Assim, teremos: 

Podemos agora deduzir o valor de q  e depois calcular o dos termos intermediários. 

EXERCÍCIOS 1. Da seguinte lista de sucessões, identificar as que são progressões geométricas. Verificar também qual é sua razão e escrever a expressão do termo enésimo. a) 6, 4, 8/3, 16/9, ... b) 3, –6, 12, –24, ... c) 1, 4, 9, 16, ... d) 2, 10, 50, 250, ... e) 3, 6, 12, 24, ... 2. Devido à infecção da gripe, nosso organismo é atacado por vírus que se reproduzem dividindo-se em três a cada 24 horas. Se 5 mil vírus introduziram-se inicialmente em nosso corpo, quantos haverá no terceiro dia? E depois de uma semana? 3. A soma dos 6 primeiros termos de uma progressão geométrica é 63/8. Sabendo que sua razão é 1/2, qual o valor de a1? 4. Foi uma boa recompensa? Com tudo que foi explicado neste capítulo, já podemos responder a nossa pergunta inicial. Recorde que a1 = 1, q = 2 e que o tabuleiro de xadrez tem 64 casas. Quantos grãos de trigo o jovem príncipe deverá entregar a seu professor? 5. Interpolar cinco meios geométricos entre 3 e 81.