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| Figura 1 |
Conceito de função linear
Estabelecemos entre R e R (conjunto dos números reais) uma correspondência C, com o seguinte critério: traçamos uma reta pela origem das coordenadas e, de todos os elementos (x,y) do produto R X R, elegemos para a correspondência aqueles cuja imagem gráfica caia sobre a referida reta (Figura 1, ao lado). A correspondência será o conjunto:
| C = { (x0,y0), (x1,y1), (x2,y2)...} |
| Observe que para cada elemento x do conjunto horizontal (Figura 1) corresponde um elemento y do conjunto vertical, com a condição de que o par (x,y) tenha sua imagem gráfica sobre uma reta dada. Essa correspondência é biunívoca e o par (0,0) pertence ao conjunto ou função. |
Essa função recebe o nome de função linear por causa da reta que seleciona os pares x e y.
Para lembrar:
| Temos um conjunto de pares de números reais (função linear) e seu gráfico (uma reta). Este conjunto é muito amplo e pode ser expresso algebricamente. Para este fim, temos de encontrar uma propriedade válida para todos os elementos do conjunto e apenas para eles. |
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| Figura 2 |
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Se observarmos a Figura 2, ao lado, e tomarmos como referência dois pontos quaisquer (B e D), veremos que formam dois triângulos retângulos semelhantes, OBA e ODC e, portanto, seus lados devem ser proporcionais. Assim:
Ou então:
Da mesma forma, com um terceiro ponto, teríamos:
Assim, genericamente:
Sendo (x,y) um ponto qualquer da reta.
Trocando elementos, teremos:
| y1/x1 = y2/x2 = y3/x3 = y/x |
Para lembrar:
| O quociente entre ordenada e abscissa de qualquer ponto da reta é constante. |
Se chamamos de K esta constante, temos:
Assim, a expressão acima é a forma analítica para demonstrar a propriedade que buscávamos, que vem aplicada na Figura 3, abaixo.
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| Figura 3 |
Quando temos yo / xo = y1 / x1 = ... = y / x = K, diz-se que os pares (xoyo, x1y1, x2y2, ... xy) são proporcionais.
A constante de proporcionalidade é K, que é a inclinação da reta.
Recordando a fórmula trigonométrica:
Sendo que , como mostra a Figura 4 (abaixo), é o ângulo formado pela reta e
o semi-eixo positivo dos x.
Portanto, a equação de uma aplicação linear pode ser expressa da seguinte forma:
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| Figura 4 |
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| y = tg x |
Propriedades das funções lineares
Dada a função linear por sua equação y = K x, podemos indicar duas propriedades importantes da mesma equação (Figura 5, abaixo):
| ' |
Se (x1,y1) e (x2,y2) são dois elementos da aplicação, (x1+x2, y1+y2) também é. |
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| Figura 5 |
| ' |
Se o par (xi,yi) pertence à aplicação, o mesmo acontece com (kxi,kyi), sendo K pertencente a R: |
| yi = mxi; Kyi = Kmxi; Kyi = mKxi |
Onde:
| m é a inclinação da reta ou a constante de proporcionalidade entre x e y; |
| K é um número real qualquer; |
| R é o conjunto dos números reais. |
Logo:
| (Kxi,Kyi) pertence à aplicação. |
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| Figura 6 |
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Uso das funções lineares
Veremos em seguida alguns exemplos de problemas que podem ser resolvidos por meio de funções lineares.
O primeiro deles é o clássico problema das torneiras e os dois seguintes são de cinemática.
Uma torneira A enche um depósito em 3 horas. Outra torneira B enche o depósito em 4 horas. Quando ele está cheio, um ralo C o esvazia em 2 horas. Funcionando simultaneamente A, B e C, em quanto tempo o depósito fica cheio?
Vamos tomar as ordenadas dadas pelas funções para a abscissa (Figura 6, acima): por exemplo para x = 1 teremos as ordenadas 1/4, 1/3 e 1/2 (aqui a ordenada é negativa, por ser decrescente a função).
Somando-se as ordenadas obteremos 1/12. Isto é, em cada hora, o tanque é enchido em 1/12 de sua capacidade total.
Ora, para completar os 12/12 (o tanque inteiro), as torneiras levarão 12 horas.
Um ciclista deve percorrer um trajeto de 100 km e pedala a uma velocidade de 20 km/ h. Quanto tempo depois deve sair outro ciclista para que, percorrendo o mesmo trajeto à velocidade de 40 km/h, eles cheguem juntos? (Figura 7, abaixo.)
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| Figura 7 |
Resposta: o segundo ciclista deve sair 2 horas e 30 minutos mais tarde.
Dois carros saem simultaneamente das cidades M e N, que são distantes 200 km uma da outra. Um dos carros se move a uma velocidade de 120 km/h e o outro, a 40 km/h. Ao fim de quanto tempo irão encontrar-se e que distância terá percorrido cada um deles? (Figura 8, abaixo).
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| Figura 8 |
Resposta: os dois carros irão se encontrar ao fim de 1 hora e 15 minutos, a 50 km de M e a 150 km
de N.
EXERCÍCIOS
| 1. |
Dos três canos que deságuam numa piscina, um pode enchê-la em 36 horas, outro, em 30 horas e o terceiro, em 20 horas. Ache o tempo que levam para enchê-la juntos.
Resolver graficamente. Para isto, basta escolher um tempo qualquer e somar as ordenadas correspondentes a esse ponto para as três torneiras. |
| 2. |
Dois amigos vivem em duas cidades, A e B, separadas por 200 km. Certo dia, decidem encontrar-se e saem um ao encontro do outro de bicicleta. O que sai de A vai a 20 km/h e o que sai de B, a 30 km/h. A que distância de A e de B irão encontrar-se? E a que horas vão encontrar-se se tiverem saído simultaneamente às 8 horas da manhã? |
| 3. |
Um carro sai de um ponto A a 100 km/h. Duas horas mais tarde outro carro sai em sua perseguição a 120 km/h. A que distância do ponto A eles vão encontrar-se? |
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